Matematik för lärare i gymnasieskolan, 90 hp (1-90 hp). Ingår i lärarlyftet

Kursens övergripande mål är att de studerande utvecklar och fördjupar sina matematiska förmågor och sina kunskaper i matematik, i matematikdidaktik och om matematikens utveckling, med relevans för en framtida yrkesprofession som matematiklärare. Ett särskilt mål är att den studerande tillägnar sig kunskap om matematikens logiska och axiomatiska uppbyggnad. Den studerande ska också kunna redogöra för olika vetenskapliga teorier och forskningsrön, såväl nationella som internationella, som behandlar utvecklande av matematiska kunskaper.

Delkurser

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för och använda matematikens grundläggande språk och uttrycksformer,
• redogöra för olika talområden såsom hela tal, rationella tal, reella tal och komplexa tal,
• visa förståelse för nödvändigheten av att basera matematiken på logiska och axiomatiska system,
• redogöra för definitioner och satser i talteori,
• lösa algebraiska ekvationer och ekvationssystem,
• bevisa grundläggande satser i talteori med olika bevismetoder såsom direkt och indirekt bevisföring, motsägelsebevis samt matematisk induktion,
• lösa problem i elementär kombinatorik och använda binomialsatsen för att undersöka och utveckla polynom,
• utföra polynomdivision och använda några metoder för lösning av vissa typer av polynomekvationer, och
• använda digitala verktyg alternativt programmering på ett för delkursen ändamålsenligt sätt.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för definitioner och satser i euklidisk geometri,
• bevisa grundläggande satser i euklidisk geometri,
• lösa geometriska problem med användande av postulat, definitioner och satser,
• visa förståelse för matematikens logiska och axiomatiska natur,
• lösa problem med räta linjer och cirklar i analytisk geometri,
• redogöra för några definitioner och satser i icke-euklidisk geometri, och
• använda digitala verktyg alternativt programmering på ett för delkursen ändamålsenligt sätt.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för och problematisera, såväl skriftligt som muntligt, matematikdidaktiska forskningsresultat,
• kritiskt och självständigt reflektera över egna och andras erfarenheter med utgångspunkt i matematikdidaktisk forskning,
• identifiera och redogöra för olika perspektiv på matematik som vetenskap och matematik som skolämne,
• analysera och beskriva undervisning och lärande i matematik samt matematiska kunskaper med hjälp av aktuella matematikdidaktiska begrepp,
• redogöra för och problematisera matematikundervisning i gymnasiet i relation till olika perspektiv på lärande, och
• planera för, problematisera och motivera matematikundervisning för gymnasiet utifrån aktuella styrdokument och matematikdidaktiska teorier.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för olika vetenskapliga teorier och forskningsrön, såväl nationella som internationella, som behandlar matematisk problemlösning i skolan,
• kommunicera matematik i tal, skrift och bild,
• använda olika matematiska idéer, uttrycksformer och representationsformer vid problemlösning,
• visa förmåga att kreativt skapa, formulera och lösa problem som inte har en given lösning,
• tolka och kritiskt granska elevlösningar samt visa förståelse för den matematiska progressionen i elevers lärande, och
• analysera undervisning i matematisk problemlösning på ett vetenskapligt sätt.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• visa förståelse för begreppet funktion inklusive invers, bijektion samt monoton funktion,
• hantera elementära funktioner, polynomfunktioner, rationella funktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner,
• visa förståelse för begreppen gränsvärde och kontinuitet samt lösa problem där dessa används,
• visa förståelse för begreppet derivata och använda derivatans definition för att härleda olika deriveringsregler,
• tillämpa derivata i extremvärdesanalys och andra konkreta sammanhang,
• visa förståelse för begreppet integral och använda integraler vid beräkning av kurvors längd, areor under kurvor och volymer av rotationskroppar,
• använda serieutvecklingar i olika sammanhang,
• lösa linjära och separabla differentialekvationer av första ordningen,
• använda digitala verktyg alternativt programmering på ett för delkursen ändamålsenligt sätt, och
• muntligt och skriftligt argumentera matematiskt och föra logiska resonemang på ett för delkursen ändamålsenligt sätt.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• genomföra och diskutera en statistisk undersökning med relevans för skolans värdegrund och uppdrag,
• tolka och konstruera olika typer av diagram och i samband med det beräkna olika läges- och spridningsmått,
• beräkna sannolikheter i enkla slumpsituationer med binomial-, hypergeometrisk- eller Poissonfördelning,
• använda exponential- och normalfördelningar samt centrala gränsvärdessatsen,
• göra approximationer av binomial- och hypergeometriska fördelningar,
• lösa enkla problem med simulering,
• tolka, tillämpa och utföra hypotesprövning med chi-två-test samt beräkna konfidensintervall för andelar och väntevärden, samt utföra tillhörande test utifrån olika datamaterial,
• använda digitala verktyg alternativt programmering på ett för delkursen ändamålsenligt sätt, och
• muntligt och skriftligt argumentera matematiskt och föra logiska resonemang på ett för delkursen ändamålsenligt sätt.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för och problematisera, såväl muntligt som skriftligt, undervisning och lärande i matematik i relation till aktuell forskning,
• kritiskt reflektera över, såväl muntligt som skriftligt, matematikundervisning utifrån elevers olika förkunskaper och behov, matematikdidaktisk forskning samt aktuella styrdokument för gymnasiet,
• genomföra bedömning av elevredovisningar samt planera för undervisning och bedömning i enlighet med matematikämnets syfte, aktuell läroplan och matematikdidaktisk forskning,
• problematisera och kritiskt reflektera över undervisningsplanering, bedömning och matematikämnets innehåll i enlighet med aktuella styrdokument och matematikdidaktisk forskning, och
• värdera källor med matematikdidaktiskt innehåll utifrån olika kvalitetskriterier med avseende på vetenskaplighet.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• redogöra för olika sätt att formulera och lösa matematiska uppgifter utifrån ett historiskt perspektiv,
• formulera och lösa matematiska uppgifter med olika historiska metoder samt redogöra för dessa metoder,
• visa grundläggande kunskaper om matematikens utveckling genom historien ur olika perspektiv, t.ex. genusperspektiv,
• redovisa kunskaper om framväxt och utveckling av olika talsystem, räkneoperationer och matematiska symboler,
• tolka och kritiskt granska olika matematiska idéer och uttrycksformer genom tiderna,
• redogöra för den historiska utvecklingen av ett utvalt matematiskt område eller begrepp,
• planera, motivera och problematisera undervisning som inkluderar matematikens historia med utgångspunkt i skolans styrdokument och matematikdidaktisk forskning, och
• kommunicera och diskutera delkursens innehåll, muntligt och skriftligt, med korrekt språklig form.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• lösa linjära ekvationssystem med matriser,
• uttrycka linjer, plan och rum med vektorer i R^3,
• beräkna skalär- och vektorprodukt i R^3,
• bestämma projektioner och speglingar i linjer och plan med hjälp av linjära avbildningar,
• avgöra antalet lösningar av linjära ekvationssystem med hjälp av determinanter, och
• använda egenvärden och egenvektorer för att ortogonalisera matriser.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• lösa homogena och icke homogena differentialekvationer av första ordningen, separabla differentialekvationer och differentialekvationer av högre ordning med konstanta koefficienter,
• visa förståelse för funktioner av flera variabler samt begreppen gränsvärde och kontinuitet,
• beräkna partiella derivator och differentialer av både explicita och implicita funktioner,
• beräkna extremvärden,
• använda Lagranges multiplikatormetod, och
• beräkna dubbelintegraler, förstå volym som dubbelintegral och beräkna trippelintegraler.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• beskriva, analysera, diskutera samt tillämpa aritmetik, mängdlära, bijektioner, injektioner, surjektioner, principer för räkning, Pascals triangel, linjär rekursion, partitioner, ekvivalensrelationer och modulär aritmetik,
• beskriva, analysera, diskutera samt tillämpa kryptografi, Boolesk algebra och grundläggande grafteori, och
• beskriva, analysera, diskutera samt tillämpa grundläggande gruppteori, ringar, kroppar, polynom, ändliga kroppar och felrättande grundläggande koder.

Efter avslutad delkurs ska den studerande kunna:

• beskriva, analysera, diskutera samt tillämpa differentialekvationer av första ordningen, differentialekvationer av första ordningen som differential modell, linjära differentialekvationer av andra ordningen och högre, system av differentialekvationer, separation av variabler och tillämpningar av ordinära och partiella differentialekvationer, och
• beskriva, analysera, diskutera samt tillämpa Laplacetransformen och stabilitet.

Kursen består av 12 delkurser.

Delkurser

Delkursen behandlar matematikens språk och uttrycksformer och talteori med olika bevisprinciper. Vidare behandlas grundläggande kombinatorik, grunderna för komplexa tal och polynom med polynomdivision.

Delkursen inleds med geometrins historia samt behandlar grundläggande begrepp och samband i trianglar och cirklar såsom kongruens, likformighet, Pythagoras sats och trigonometri i trianglar. Vidare behandlas postulat, definitioner och satser i euklidisk geometri samt i geometrisk problemlösning. En laboration med digitala verktyg genomförs. Avslutningsvis behandlas analytisk och icke-euklidisk geometri.

Delkursen är en introduktion till matematikdidaktik som vetenskapsområde och undervisningspraktik. I delkursen behandlas olika perspektiv på matematik som vetenskap och matematik som skolämne samt kunskap, lärande och undervisning i matematik. Matematikdidaktiska begrepp studeras och diskuteras med utgångspunkt i forskning, rådande styrdokument, egna och andras erfarenheter och observationer. Vidare studeras förutsättningar för hur undervisning kan organiseras utifrån matematiska kunskapsområden och uppgifter, elevers förkunskaper, klassrumsinteraktion och klassrumsnormer. I den muntliga och skriftliga vetenskapliga processen behandlas kraven på vetenskaplig förankring.

I delkursen introduceras nationell såväl som internationell forskning om hur elever lär matematik och hur undervisningen kan organiseras, genomföras, diskuteras och följas upp. Särskild vikt läggs vid den studerandes egna matematiska förmågor, kunskaper och utvecklandet av ett matematiskt språk. Via matematisk problemlösning ges den studerande möjlighet att skapa matematiska problem samt anpassa, variera och kommunicera matematik på sätt som gör det möjligt för elever att utveckla sina matematiska kunskaper. Tillfälle ges även att ta del av och kritiskt granska elevlösningar av matematiska problem.

I delkursen behandlas funktioner och samband såsom elementära funktioner med inverser, gränsvärden, kontinuitet och derivata. Tillika behandlar delkursen deriveringsregler, integraler, integrationsmetoder, tillämpningar av derivata och integraler samt serieutvecklingar. I behandlingen av delkursens innehåll kommer digitala verktyg att vara en viktig del.

I delkursen behandlas statistikens och sannolikhetsberäkningarnas roll i matematik samt hur statistiska undersökningar kan utformas, genomföras samt utgå från skolans värdegrund och uppdrag. Delkursen behandlar beskrivande statistik med diagram, statistiska mått och samband såsom regression och korrelation, sannolikhetslära med studier av oberoende händelser och betingade sannolikheter, slumpvariabler, diskreta sannolikhetsfördelningar samt några approximationer. Vidare studeras kontinuerliga sannolikhetsfördelningar, speciellt normalfördelning och statistisk inferens där konfidensintervall för andelar respektive väntevärde beräknas. Principen för hypotesprövning klargörs och tillämpningar som leder fram till bl.a. chi-två-test studeras. I delkursen används kalkylprogram för tillämpningar och beräkningar på statistiska material.

Delkursen är en fördjupning i matematikdidaktik som vetenskapsområde och undervisningspraktik. I delkursen kontextualiseras matematikundervisning och matematiklärande i ett större sammanhang, exempelvis utifrån uppgiftskonstruktion, bedömning och elevperspektiv. I delkursen behandlas teorier om undervisning och bedömning i matematik med fokus på gymnasiet. Tyngdpunkten ligger på planering för undervisning och utvärdering av undervisning samt bedömning av elevers visade förmågor och kunskaper. Delkursen behandlar även olika aspekter på vetenskaplighet samt innebörden av undervisning på vetenskaplig grund. Fokus ligger på de matematiska begrepp med tillhörande representationsformer som är relevanta för gymnasiet.

Delkursen belyser matematikens historia i stora drag, med särskild tonvikt på olika talsystem, symboler och räkneoperationer genom historien. Exempel ges från olika tider och kulturer, bland annat inom fornafrikansk, sumerisk, babylonisk och fornegyptisk matematik, mayaindianernas matematik samt fornkinesisk matematik. Olika typer av matematiska uppgifter samt deras dåtida lösningsmetoder provas och diskuteras. Likheter och skillnader mellan dessa och nutidens strategier granskas och belyses. Exempel ges på såväl kvinnliga som manliga matematiker genom tiderna, vilken matematik de arbetat med samt vilken betydelse deras arbete har haft på den fortsatta utvecklingen av matematiken. I delkursen ingår även att fördjupa sig i ett specifikt matematiskt område eller begrepp och undersöka hur utvecklingen av detta skett genom tiderna. I delkursen behandlas dessutom hur lärare utifrån skolans styrdokument kan planera, genomföra, utvärdera och utveckla undervisning i matematik via matematikens historia. I ett metaperspektiv görs jämförelser mellan elevers och mänsklighetens matematiska utveckling.

Delkursen behandlar linjära ekvationssystem, vektorer, linjer och plan i rymden, matriser, determinanter, linjära avbildningar, egenvärden av och egenvektorer till matriser.

Delkursen behandlar differentialekvationer, funktioner av två variabler, gränsvärde och kontinuitet, dubbelintegral samt trippelintegral.

I delkursen behandlas grundläggande diskret matematik. Områden som diskuteras, analyseras och tillämpas är aritmetik, mängdlära, bijektioner, injektioner, surjektioner, principer för räkning, Pascals triangel, linjär rekursion, partitioner, ekvivalensrelationer och modulär aritmetik. Vidare behandlas kryptografi, Boolesk algebra och grundläggande grafteori. Slutligen beskrivs, analyseras och tillämpas grundläggande gruppteori, ringar, kroppar, polynom, ändliga kroppar och felrättande grundläggande koder.

I delkursen behandlas grunderna i teorin för differentialekvationer och därtill hörande transformer med tillämpningar. Områden som analyseras och tillämpas är differentialekvationer av första ordningen, linjära differentialekvationer av andra ordningen och högre, system av differentialekvationer, separation av variabler och tillämpningar av ordinära och partiella differentialekvationer. Andra områden som behandlas är Laplacetransformen och stabilitet.

Examinationsformer:

• seminarier,
• inlämningsuppgifter,
• skriftliga och muntliga redovisningar samt
• individuella, skriftliga salstentamina.

Som betygsskala används U–VG.

För betyget Väl godkänd på hela kursen krävs Väl godkänd på minst 67,5 högskolepoäng av kursens 90 högskolepoäng

Betygsrapportering:

• Delkurs 1. Algebra, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 2. Geometri, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 3. Matematikdidaktik I, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 4. Matematisk problemlösning i skolan, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 5. Envariabelanalys, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 6. Statistik och sannolikhetslära, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 7. Matematikdidaktik II, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 8. Matematikens historia för lärare, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 9. Linjär algebra, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 10. Flervariabelanalys, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 11. Diskret matematik, 7,5 hp, U-VG
• Delkurs 12. Differentialekvationer och transformer, 7,5 hp, U-VG